Cálculo Exemplos

lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{x}

$lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva

{\sin (x)}^{x}

${\sin (x)}^{x}$ como

e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}

$e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$

Etapa 1.2

Expanda

\ln ({\sin (x)}^{x})

$\ln ({\sin (x)}^{x})$ movendo

x

$x$ para fora do logaritmo.

lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}$

lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\sin (x))}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\sin (x))}$

Etapa 3

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função

x \ln (\sin (x))

$x \ln (\sin (x))$ à medida que

x

$x$ se aproxima de

0

$0$ a partir da direita.

\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}

$\begin{array}{c} x & x \ln (\sin (x)) \\ 0.1 & - 0.23042523 \\ 0.01 & - 0.04605186 \\ 0.001 & - 0.00690775 \\ 0.0001 & - 0.00092103 \\ 0.00001 & - 0.00011512 \\ 0.000001 & - 0.00001381 \end{array}$

Etapa 4

À medida que os valores de

x

$x$ se aproximam de

0

$0$ , os valores da função se aproximam de

0

$0$ . Portanto, o limite de

x \ln (\sin (x))

$x \ln (\sin (x))$ à medida que

x

$x$ se aproxima de

0

$0$ a partir da direita é

0

$0$ .

e^{0}

$e^{0}$

Etapa 5

Qualquer coisa elevada a

0

$0$ é

1

$1$ .

1

$1$