Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{9 \tan (x)}{- 3 x}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Cancele o fator comum de $9$ e $- 3$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $3$ de $9 \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{- 3 x}$

Etapa 1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.1

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Etapa 1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (3 \tan (x))}{3 (- x)}$

Etapa 1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{3 \tan (x)}{- x}$

Etapa 1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$3 \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} - x}$

Etapa 2.1.2.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{- x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1 \cdot 1}$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$

Etapa 2.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sec^{2} (x)}{- 1}$ .

$3 lim_{x \to 0} - 1 \cdot \sec^{2} (x)$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Etapa 3.2

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$3 \cdot - 1 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$3 \cdot - 1 \sec^{2} (0)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \sec^{2} (0)$

Etapa 5.2

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$- 3 \cdot 1^{2}$

Etapa 5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 3 \cdot 1$

Etapa 5.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3$