Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.6.3

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 1.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Etapa 1.10.2

Multiplique $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ como ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 2.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} u^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.7.2

Combine ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{{(x - 1)}^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.7.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2 \cdot {(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.7.3.2

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (- \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))$

Etapa 2.7.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}})} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 2.7.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}} \cdot 1$

Etapa 2.11.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.6.3

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.1.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Etapa 4.1.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Etapa 4.1.10.2

Multiplique $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$1 = 0$

Etapa 5.3

Como $1 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ como ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Divida cada termo em $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.1

Divida cada termo em $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ por $27$ .

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.1.2.1.2

Divida ${(x - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

Etapa 6.3.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1.3.1

Divida $0$ por $27$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 6.3.3.2

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.3.3.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{9 {((1) - 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{2}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 1)$ na primeira derivada $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{1}{3 {((0) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.2.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 10.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 10.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (0) = \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

Etapa 10.2.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (0) = \frac{1}{3 \cdot 1}$

Etapa 10.2.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (0) = \frac{1}{3}$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = \frac{1}{3 {((4) - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Subtraia $1$ de $4$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2.2

Multiplique $3$ por $3^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Multiplique $3$ por $3^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f' (4) = \frac{1}{3 \cdot 3^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = \frac{1}{3^{1 + \frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}$

Etapa 10.3.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Etapa 10.3.2.2.4

Some $3$ e $2$ .

$f' (4) = \frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 1$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 11