Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{- \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $\frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{\frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore ${(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ de ${(\frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.3.2.4

Divida ${(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Etapa 2.2.4

Some $n$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Etapa 2.2.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Etapa 2.2.6

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.7

Some $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{3})}^{1}$

Etapa 2.2.8

Simplifique.

$r = \frac{1}{3}$

Etapa 3

Como $| r | < 1$ , a série converge.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $n$ em $(- \frac{4}{3}) {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = - \frac{4}{3} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Etapa 4.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

Etapa 4.2.4

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$a = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$a = - \frac{4}{3} \cdot 1$

Etapa 4.2.6

Multiplique $- \frac{4}{3}$ por $1$ .

$a = - \frac{4}{3}$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{- \frac{4}{3}}{1 - \frac{1}{3}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}}$

Etapa 6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Etapa 6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 1}{3}}$

Etapa 6.2.3

Subtraia $1$ de $3$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3}}$

Etapa 6.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{4}{3} (1 (\frac{3}{2}))$

Etapa 6.4

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 6.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3}$ para o numerador.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 6.5.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 6.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{3}{2}$

Etapa 6.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Etapa 6.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2}{3} \cdot 3$

Etapa 6.6.2

Reescreva a expressão.

$- 2$