Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x^{- 1}}{2 x^{3} + 5}$

Etapa 1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Etapa 1.2

Combine os termos.

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Etapa 1.2.1

Para escrever $5 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x}{x} + \frac{1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Etapa 1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2} x + 1}{x}}{2 x^{3} + 5}$

Etapa 2

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} x + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Etapa 2.2

Combine os fatores.

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Etapa 2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x^{1} x^{2}) + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Etapa 2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{1 + 2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Etapa 2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x} \cdot \frac{1}{2 x^{3} + 5}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{5 x^{3} + 1}{x}$ por $\frac{1}{2 x^{3} + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3} + 5)}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{x (2 x^{3}) + x \cdot 5}$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + x \cdot 5}$

Etapa 3.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x \cdot x^{3} + 5 \cdot x}$

Etapa 3.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x) + 5 \cdot x}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 (x^{3} x^{1}) + 5 \cdot x}$

Etapa 3.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{3 + 1} + 5 \cdot x}$

Etapa 3.4.3

Some $3$ e $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 \cdot x}$

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 1}{2 x^{4} + 5 x}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{3} \cdot 5}{x^{3} x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{2 x^{4}}{x^{4}} + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $2$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5 x}{x^{4}}}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $x$ de $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x^{4}}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x^{3}}}$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Etapa 5.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{4}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{3}}}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{3}}}$

Etapa 8.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 5 \cdot 0}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $5 \cdot 0 + 0$ e $2 + 5 \cdot 0$ .

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Etapa 10.1.1

Reordene os termos.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

Etapa 10.1.2

Fatore $2$ de $5 \cdot 0$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 0}{2 + 0 \cdot 5}$

Etapa 10.1.3

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0) + 2 (0)}{2 + 0 \cdot 5}$

Etapa 10.1.4

Fatore $2$ de $2 (5 \cdot 0) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 + 0 \cdot 5}$

Etapa 10.1.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.1.5.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 0 \cdot 5}$

Etapa 10.1.5.2

Fatore $2$ de $0 \cdot 5$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1) + 2 (0 \cdot 5)}$

Etapa 10.1.5.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

Etapa 10.1.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 \cdot 0 + 0)}{2 (1 + 0 \cdot 5)}$

Etapa 10.1.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{5 \cdot 0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

Etapa 10.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 \cdot 5}$

Etapa 10.2.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 \cdot 5}$

Etapa 10.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $0$ por $5$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Etapa 10.3.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{0}{1}$

Etapa 10.4

Divida $0$ por $1$ .

$0$