Cálculo Exemplos

$\frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{5}}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4

Divida $x^{5}$ por $x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 4.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 4.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Etapa 4.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{5} + 0 + x^{3}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Etapa 4.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Etapa 4.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Etapa 4.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Etapa 4.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 4.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + 0 - x$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 4.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 4.11

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

$0$

Etapa 4.12

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int x^{3} - x + \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{3} d x + \int - x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x d x + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 9

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 9.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 9.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 9.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 10.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 10.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{5}}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$