Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x} = 2$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para o expoente.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0} = 2$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.5

Some $2 e^{2 x}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [x]} = 2$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{1} = 2$

Etapa 1.4

Divida $2 e^{2 x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 e^{2 x} = 2$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} e^{2 x} = 2$

Etapa 2.2

Mova o limite para o expoente.

$2 e^{lim_{x \to 0} 2 x} = 2$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 e^{2 lim_{x \to 0} x} = 2$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 e^{2 \cdot 0} = 2$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$2 e^{0} = 2$

Etapa 4.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 \cdot 1 = 2$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 = 2$