Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.6

Combine $\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.2.7.2.4

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 36$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 3 x - 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$6 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 36]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 3 + 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $6 x - 3$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 3$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 3$ .

$6 x - 3$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 3 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 3 = 0$

Etapa 2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$6 x = 3$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $6 x = 3$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $6 x = 3$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{3}{6}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{6}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x = \frac{3 (1)}{6}$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{1}{2}$ em $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1^{3}}{2^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{3}} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 36 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} - 36 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} - 36 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.7

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.7.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{4 \cdot 2} - 36 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.7.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 36 (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.8.1

Fatore $2$ de $- 36$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + 2 (- 18) (\frac{1}{2})$

Etapa 3.1.2.1.8.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + 2 \cdot (- 18 (\frac{1}{2}))$

Etapa 3.1.2.1.8.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 18$

Etapa 3.1.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{1 - 3}{8}$

Etapa 3.1.2.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{- 2}{8}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 (- 1)}{8}$

Etapa 3.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Etapa 3.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 + \frac{- 1}{4}$

Etapa 3.1.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = - 18 - \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.2.4

Para escrever $- 18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 18 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.2.5

Combine $- 18$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 18 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 18 \cdot 4 - 1}{4}$

Etapa 3.1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.7.1

Multiplique $- 18$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 72 - 1}{4}$

Etapa 3.1.2.7.2

Subtraia $1$ de $- 72$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 73}{4}$

Etapa 3.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{73}{4}$

Etapa 3.1.2.9

A resposta final é $- \frac{73}{4}$ .

$- \frac{73}{4}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{1}{2}$ em $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ é $(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0.4$ na expressão.

$f'' (0.4) = 6 (0.4) - 3$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $6$ por $0.4$ .

$f'' (0.4) = 2.4 - 3$

Etapa 5.2.2

Subtraia $3$ de $2.4$ .

$f'' (0.4) = - 0.6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 5.3

Em $0.4$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{1}{2})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.6$ na expressão.

$f'' (0.6) = 6 (0.6) - 3$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $0.6$ .

$f'' (0.6) = 3.6 - 3$

Etapa 6.2.2

Subtraia $3$ de $3.6$ .

$f'' (0.6) = 0.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 6.3

Em $0.6$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(\frac{1}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{1}{2}, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{73}{4})$

Etapa 8