Cálculo Exemplos

$y = {(x - \frac{1}{x})}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.3

Multiplique.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.3.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0)$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0)$

Etapa 4.5.2

Some $1 + x^{- 2}$ e $0$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x + 2 (- \frac{1}{x})) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$(2 x - 2 \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 5.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$(2 x + \frac{- 2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 5.4

Reordene os fatores de $(2 x - \frac{2}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}})$ .

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$

Etapa 5.5

Expanda $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (2 x - \frac{2}{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (2 x - \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Etapa 5.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x - \frac{2}{x})$

Etapa 5.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 (2 x) + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Etapa 5.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1.1

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$2 x + 1 (- \frac{2}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- \frac{2}{x}$ por $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (2 x) + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Etapa 5.6.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x - \frac{2}{x} + 2 \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Etapa 5.6.1.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Etapa 5.6.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.6.1.5.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Etapa 5.6.1.5.2

Cancele o fator comum.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Etapa 5.6.1.5.3

Reescreva a expressão.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x})$

Etapa 5.6.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$

Etapa 5.6.1.7

Multiplique $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2}{x}$ .

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Etapa 5.6.1.7.1

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x \cdot x^{2}}$

Etapa 5.6.1.7.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.6.1.7.2.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.6.1.7.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1} x^{2}}$

Etapa 5.6.1.7.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{1 + 2}}$

Etapa 5.6.1.7.2.2

Some $1$ e $2$ .

$2 x - \frac{2}{x} + \frac{2}{x} - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 5.6.2

Some $- \frac{2}{x}$ e $\frac{2}{x}$ .

$2 x + 0 - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 5.6.3

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x - \frac{2}{x^{3}}$