Cálculo Exemplos

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x)) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) + 2 \cos (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 3 \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \tan (x) \sec (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Etapa 4

Como a derivada de $\sec (x)$ é $\tan (x) \sec (x)$ , a integral de $\tan (x) \sec (x)$ é $\sec (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} 2 \cos (x) d x$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Etapa 6

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$3 (\sec (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Avalie $\sec (x)$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$3 ((\sec (\frac{π}{3})) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Etapa 7.1.2

Avalie $\sin (x)$ em $\frac{π}{3}$ e em $\frac{π}{4}$ .

$3 (\sec (\frac{π}{3}) - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O valor exato de $\sec (\frac{π}{3})$ é $2$ .

$3 (2 - \sec (\frac{π}{4})) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 7.2.2

O valor exato de $\sec (\frac{π}{4})$ é $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 7.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Etapa 7.2.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (2 - \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cdot 2 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 + 3 (- \frac{2}{\sqrt{2}}) + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $3 (- \frac{2}{\sqrt{2}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$6 - 3 \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 2}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.3.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.1

Cancele o fator comum.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + 2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.5.2

Reescreva a expressão.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 7.3.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.6.2

Cancele o fator comum.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} + 2 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.3.6.3

Reescreva a expressão.

$6 + \frac{- 6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 - \frac{6}{\sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - (\frac{6}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.2.1

Multiplique $\frac{6}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2^{1}} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$6 - \frac{6 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.3

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.3.1

Fatore $2$ de $6 \sqrt{2}$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 (1)} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$6 - \frac{2 (3 \sqrt{2})}{2 \cdot 1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$6 - \frac{3 \sqrt{2}}{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.3.2.4

Divida $3 \sqrt{2}$ por $1$ .

$6 - (3 \sqrt{2}) + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.1.4

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$6 - 3 \sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Etapa 7.4.2

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$6 - 4 \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$2.07519655 \dots$