Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 e^{x} - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Etapa 1

Fatore $2$ de $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

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Etapa 1.1

Fatore $2$ de $2 e^{x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) - 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $- 2 e^{- x}$ .

$\int \frac{2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $2 (e^{x}) + 2 (- e^{- x})$ .

$\int \frac{2 (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{e^{x} - e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Depois, $d u_{2} = (e^{x} - e^{- x}) d x$ , então, $\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{2} = e^{x} + e^{- x}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 3.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 3.1.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.1.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.1.4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.1.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 3.1.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 3.1.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 3.1.4.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 3.1.4.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ como $2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{- 2}{u_{2}} + C$

Etapa 6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{u_{2}} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x} + e^{- x}$ .

$- \frac{2}{e^{x} + e^{- x}} + C$