Cálculo Exemplos

$\frac{1 + \ln (x)}{x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1 + \ln (x)}{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1 + \ln (x)}{x} d x$

Etapa 4

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{1}{x} + \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 7

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 7.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int u d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 9

Simplifique.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} u^{2} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1 + \ln (x)}{x}$ .

$F (x) =$ $\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$