Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{k} (2 k x - x^{2}) d x = 18$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{0}^{k} 2 k x - x^{2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{k} 2 k x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Etapa 3

Como $2 k$ é constante com relação a $x$ , mova $2 k$ para fora da integral.

$2 k \int_{0}^{k} x d x + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 k \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} + \int_{0}^{k} - x^{2} d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - \int_{0}^{k} x^{2} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{k})$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$2 k \frac{x^{2}}{2}]_{0}^{k} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Etapa 8.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $k$ e em $0$ .

$2 k ((\frac{k^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{k})$

Etapa 8.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $k$ e em $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - \frac{0}{1}) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} - 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 k (\frac{k^{2}}{2} + 0) - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.4

Some $\frac{k^{2}}{2}$ e $0$ .

$2 k \frac{k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.5

Combine $2$ e $\frac{k^{2}}{2}$ .

$k \frac{2 k^{2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.6

Combine $k$ e $\frac{2 k^{2}}{2}$ .

$\frac{k (2 k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.7

Eleve $k$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (k^{1} k^{2})}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 k^{1 + 2}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.9

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.10

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 k^{3}}{2} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.10.2

Divida $k^{3}$ por $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Etapa 8.2.3.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{3})$

Etapa 8.2.3.12

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.12.1

Fatore $3$ de $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Etapa 8.2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.12.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 8.2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 8.2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - \frac{0}{1})$

Etapa 8.2.3.12.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} - 0)$

Etapa 8.2.3.13

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$k^{3} - (\frac{k^{3}}{3} + 0)$

Etapa 8.2.3.14

Some $\frac{k^{3}}{3}$ e $0$ .

$k^{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Etapa 8.2.3.15

Para escrever $k^{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$k^{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Etapa 8.2.3.16

Combine $k^{3}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{k^{3} \cdot 3}{3} - \frac{k^{3}}{3}$

Etapa 8.2.3.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{k^{3} \cdot 3 - k^{3}}{3}$

Etapa 8.2.3.18

Mova $3$ para a esquerda de $k^{3}$ .

$\frac{3 \cdot k^{3} - k^{3}}{3}$

Etapa 8.2.3.19

Subtraia $k^{3}$ de $3 k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$\frac{2}{3} k^{3}$

Etapa 9

Combine $\frac{2}{3}$ e $k^{3}$ .

$\frac{2 k^{3}}{3}$