Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Etapa 2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = x + 2$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 3.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x + 2$ .

$u_{lower} = 2 + 2$

Etapa 3.3

Some $2$ e $2$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x + 2$ .

$u_{upper} = t + 2$

Etapa 3.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

Etapa 3.6

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , então, $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Etapa 4.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Etapa 4.3

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = \ln (u_{1})$ .

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Etapa 4.4

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Etapa 4.5

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

Etapa 7

Avalie $- {u_{2}}^{- 1}$ em $\ln (t + 2)$ e em $\ln (4)$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

Etapa 8.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Etapa 8.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Etapa 8.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ se aproxima de $0$ .

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Etapa 8.5

Avalie o limite.

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Etapa 8.5.1

Avalie o limite de $\ln^{- 1} (4)$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

Etapa 8.5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.5.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

Etapa 8.5.2.2

Some $0$ e $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

Etapa 8.5.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{5}{\ln (4)}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{\ln (4)}$

Forma decimal:

$3.60673760 \dots$