Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 - 4 x^{2}$ . Depois, $d u = - 8 x d x$ , então, $- \frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 - 4 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 - 4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 4 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 4 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$0 - 8 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $8 x$ de $0$ .

$- 8 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0^{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 4 - 4 \cdot 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$u_{lower} = 4 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $4$ e $0$ .

$u_{lower} = 4$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 - 4 x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 4 - 4 \cdot 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u_{upper} = 4 - 4$

Etapa 1.5.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 0$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 8} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{8}) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 8} d u$

Etapa 2.3

Mova $8$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\int_{4}^{0} - \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{4}^{0} \frac{1}{8 \sqrt{u}} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 5.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{8} \int_{4}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{4}^{0}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $0$ e em $4$ .

$- \frac{1}{8} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.4

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{8} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.5

Multiplique $2$ por $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 7.2.7

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 7.2.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.8.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

Etapa 7.2.8.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2^{1})$

Etapa 7.2.9

Avalie o expoente.

$- \frac{1}{8} (0 - 2 \cdot 2)$

Etapa 7.2.10

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- \frac{1}{8} (0 - 4)$

Etapa 7.2.11

Subtraia $4$ de $0$ .

$- \frac{1}{8} \cdot - 4$

Etapa 7.2.12

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$4 (\frac{1}{8})$

Etapa 7.2.13

Combine $4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8}$

Etapa 7.2.14

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

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Etapa 7.2.14.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{8}$

Etapa 7.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.14.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 7.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}$

Etapa 7.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$

Etapa 9