Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{lower} = 0^{2}$

Etapa 1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x^{2}$ .

$u_{upper} = 1^{2}$

Etapa 1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ como ${u_{1}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{1}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 2.3

Combine $\frac{u_{1}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Etapa 4.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- {u_{1}}^{2}$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Etapa 4.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $u_{1}$ em $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $u_{1}$ em $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ .

$u_{upper} = - 1^{2}$

Etapa 4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Etapa 4.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 5.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}))$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4} \int_{0}^{- 1} e^{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 9

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$- \frac{1}{4} e^{u_{2}}]_{0}^{- 1}$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Avalie $e^{u_{2}}$ em $- 1$ e em $0$ .

$- \frac{1}{4} ((e^{- 1}) - e^{0})$

Etapa 10.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1 \cdot 1)$

Etapa 10.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{4} (e^{- 1} - 1)$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{e} - 1)$

Etapa 11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{e} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Etapa 11.3

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Etapa 11.4

Multiplique $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + 1 (\frac{1}{4})$

Etapa 11.4.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$- \frac{1}{e \cdot 4} + \frac{1}{4}$

Etapa 11.5

Mova $4$ para a esquerda de $e$ .

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{4 e} + \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.15803013 \dots$

Etapa 13