Cálculo Exemplos

$e^{x} + e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = e^{x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = e^{x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 2.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 2.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = e^{x} + 1 e^{- x}$

Etapa 2.3.9

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = e^{x} + e^{- x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$e^{x} - e^{- x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 4.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 4.1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$e^{x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 4.1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{x} - e^{- x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $e^{x} - e^{- x}$ .

$e^{x} - e^{- x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $e^{x} - e^{- x} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$e^{x} - e^{- x} = 0$

Etapa 5.2

Mova $- e^{- x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$e^{x} = e^{- x}$

Etapa 5.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = - x$

Etapa 5.4

Resolva $x$ .

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Etapa 5.4.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.4.1.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x + x = 0$

Etapa 5.4.1.2

Some $x$ e $x$ .

$2 x = 0$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$e^{0} + e^{- (0)}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 + e^{- (0)}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$1 + e^{0}$

Etapa 9.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 + 1$

Etapa 9.2

Some $1$ e $1$ .

$2$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = e^{0} + e^{- (0)}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 1 + e^{- (0)}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 1 + e^{0}$

Etapa 11.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 1 + 1$

Etapa 11.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f (0) = 2$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

$(0, 2)$ é um mínimo local

Etapa 13