Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 3 {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to - 4} {(x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de ${(x + 1)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - lim_{x \to - 4} 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $27$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to - 4} x + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{3 {(- 4 + 1)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Some $- 4$ e $1$ .

$\frac{3 {(- 3)}^{2} - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{3 \cdot 9 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $27$ .

$\frac{27 - 27}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $27$ de $27$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x + 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{0}{- 4 + 4}$

Etapa 1.1.3.3

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 4} \frac{3 {(x + 1)}^{2} - 27}{x + 4} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 {(x + 1)}^{2} - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.2

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 ((x + 1) (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.3

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.4.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.4.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.4.2

Some $x$ e $x$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 (x^{2} + 2 x + 1) - 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)]$ .

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Etapa 1.3.6.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 (x^{2} + 2 x + 1)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.6.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.6.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.6.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2 + 0) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.6.8

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + \frac{d}{d x} [- 27]}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.7

Como $- 27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 27$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x + 2) + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.8

Simplifique.

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Etapa 1.3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to - 4} \frac{3 (2 x) + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.8.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.8.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 3 \cdot 2 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.8.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.8.2.3

Some $6 x + 6$ e $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 4]}$

Etapa 1.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}$

Etapa 1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [4]}$

Etapa 1.3.11

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1 + 0}$

Etapa 1.3.12

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{6 x + 6}{1}$

Etapa 1.4

Divida $6 x + 6$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} 6 x + 6$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$lim_{x \to - 4} 6 x + lim_{x \to - 4} 6$

Etapa 2.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$6 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 6$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$6 lim_{x \to - 4} x + 6$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$6 \cdot - 4 + 6$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $6$ por $- 4$ .

$- 24 + 6$

Etapa 4.2

Some $- 24$ e $6$ .

$- 18$