Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{2 y} + \frac{3 y^{2}}{x}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2 y}]$ .

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Etapa 2.1

Como $\frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2 y}$ em relação a $y$ é $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{2} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Etapa 2.4

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{- 2}$ .

$- \frac{x^{2} y^{- 2}}{2} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Etapa 2.5

Mova $y^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{3 y^{2}}{x}]$ .

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Etapa 3.1

Como $\frac{3}{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{3 y^{2}}{x}$ em relação a $y$ é $\frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{3}{x} (2 y)$

Etapa 3.3

Combine $2$ e $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{2 \cdot 3}{x} y$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6}{x} y$

Etapa 3.5

Combine $\frac{6}{x}$ e $y$ .

$- \frac{x^{2}}{2 y^{2}} + \frac{6 y}{x}$

Etapa 4

Reordene os termos.

$\frac{6 y}{x} - \frac{x^{2}}{2 y^{2}}$