Cálculo Exemplos

$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 5.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - \int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 8

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - (2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x)$

Etapa 9

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 9.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 9.3

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Etapa 9.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 9.4.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Etapa 9.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 11.2.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 6}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 11.2.3

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

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Etapa 11.2.3.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 11.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 11.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 11.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 11.2.3.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{2}{3}} + C$