Cálculo Exemplos

$y = \csc^{4} (2 x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \csc (2 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (2 x)$ .

$4 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$4 \csc^{3} (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \csc^{3} (2 x) (\csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 4

Eleve $\csc (2 x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (\csc^{1} (2 x) \csc^{3} (2 x)) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 {\csc (2 x)}^{1 + 3} (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 6

Some $1$ e $3$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Etapa 10

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8 \csc^{4} (2 x) \cot (2 x)$