Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{9 x^{2} - 4}}{3 x + 5}$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2} - 4}}{3 x + 5}$

Etapa 1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{{(3 x)}^{2} - 2^{2}}}{3 x + 5}$

Etapa 1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3 x$ e $b = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(3 x + 2) (3 x - 2)}}{3 x + 5}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 3.3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 3.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (3 x + 2) (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x (3 x - 2) + 2 (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 2 + 2 (3 x - 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 x \cdot 3 x + 3 x \cdot - 2 + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.4.2

Mova $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x \cdot x + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{1} x + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{1} x^{1} + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{1 + 1} + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 4.1.2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 3 \cdot - 2 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique.

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Etapa 4.1.2.8.2.1

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 6 x + 2 \cdot 3 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 6 x + 6 x + 2 \cdot - 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 6 x + 6 x - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.3

Some $- 6 x$ e $6 x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 0 - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.8.4

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} - 4}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.2.9

O limite no menos infinito de um polinômio de grau par cujo coeficiente de maior ordem é mais infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.3

O limite no menos infinito de um polinômio de grau par cujo coeficiente de maior ordem é mais infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 x - 2)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(3 x + 2) (3 x - 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x + 2$ e $g (x) = 3 x - 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [3 x - 2] + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) (3 + 0) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.8

Some $3$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(3 x + 2) \cdot 3 + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.9

Mova $3$ para a esquerda de $3 x + 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot (3 x + 2) + (3 x - 2) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.13

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.15

Some $3$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + (3 x - 2) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.16

Mova $3$ para a esquerda de $3 x - 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 (3 x + 2) + 3 \cdot (3 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.17

Simplifique.

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Etapa 4.3.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 3 x + 3 \cdot 2 + 3 (3 x - 2)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{3 \cdot 3 x + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.17.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.17.3.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 3 \cdot 2 + 3 \cdot 3 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 6 + 3 \cdot 3 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 6 + 9 x + 3 \cdot - 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x + 6 + 9 x - 6}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.5

Some $9 x$ e $9 x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 6 - 6}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.6

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.17.3.7

Some $18 x$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{18 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.4

Reduza.

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum de $18$ e $2$ .

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Etapa 4.4.1.1

Fatore $2$ de $18 x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 9 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.4.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 9 x}{2 (x)}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 \cdot 9 x}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.4.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{9 x}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 4.4.2.2

Divida $9$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 9}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9}}{lim_{x \to - \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9}}{lim_{x \to - \infty} 3 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{9}}{3 + lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Etapa 5.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{9}}{3 + 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{9}}{3 + 5 \cdot 0}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3^{2}}}{3 + 5 \cdot 0}$

Etapa 7.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{- 1 \cdot 3}{3 + 5 \cdot 0}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3 + 0}$

Etapa 7.2.2

Some $3$ e $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3}$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3}{3}$

Etapa 7.4

Divida $- 3$ por $3$ .

$- 1$