Cálculo Exemplos

$y = \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$

Etapa 1

Reescreva $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ como um produto.

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Etapa 2

Escreva $\cos (m x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}]$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Divida $\cos (m x)$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)}]$

Etapa 3.2

Converta de $\frac{1}{\sin (n x)}$ em $\csc (n x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (m x) \csc (n x)]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (m x)$ e $g (x) = \csc (n x)$ .

$\cos (m x) \frac{d}{d x} [\csc (n x)] + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = n x$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $n x$ .

$\cos (m x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Etapa 5.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\cos (m x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $n x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) \frac{d}{d x} [n x]) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Como $n$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $n x$ em relação a $x$ é $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \frac{d}{d x} [x])) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Etapa 6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) (n \cdot 1)) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Etapa 6.3

Multiplique $n$ por $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) \frac{d}{d x} [\cos (m x)]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = m x$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [m x])$

Etapa 7.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [m x])$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $m x$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) \frac{d}{d x} [m x])$

Etapa 8

Diferencie.

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Etapa 8.1

Como $m$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $m x$ em relação a $x$ é $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) (m \cdot 1))$

Etapa 8.3

Multiplique $m$ por $1$ .

$\cos (m x) (- \csc (n x) \cot (n x) n) + \csc (n x) (- \sin (m x) m)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reordene os termos.

$- n \cos (m x) \cot (n x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1

Reescreva $\cot (n x)$ em termos de senos e cossenos.

$- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- n \cos (m x) \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ .

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Etapa 9.2.2.1

Combine $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ e $n$ .

$- \frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cos (m x) \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2.2.2

Combine $\cos (m x)$ e $\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) (\cos (n x) n)}{\sin (n x)} \csc (n x) - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2.3

Reescreva $\csc (n x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2.4

Multiplique $- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}$ .

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Etapa 9.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (n x)}$ por $\frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2.4.2

Eleve $\sin (n x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2.4.3

Eleve $\sin (n x)$ à potência de $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{1} (n x) \sin^{1} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{{\sin (n x)}^{1 + 1}} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \csc (n x) \sin (m x)$

Etapa 9.2.5

Reescreva $\csc (n x)$ em termos de senos e cossenos.

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - m \frac{1}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Etapa 9.2.6

Combine $\frac{1}{\sin (n x)}$ e $m$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{m}{\sin (n x)} \sin (m x)$

Etapa 9.2.7

Combine $\sin (m x)$ e $\frac{m}{\sin (n x)}$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin^{2} (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.3.1

Fatore $\sin (n x)$ de $\sin^{2} (n x)$ .

$- \frac{\cos (m x) \cos (n x) n}{\sin (n x) \sin (n x)} - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3.2

Separe as frações.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} \cdot \frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3.3

Reescreva $\frac{\cos (m x)}{\sin (n x)}$ como um produto.

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3.4

Escreva $\cos (m x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\frac{\cos (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3.5

Simplifique.

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Etapa 9.3.5.1

Divida $\cos (m x)$ por $1$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \frac{1}{\sin (n x)})) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3.5.2

Converta de $\frac{1}{\sin (n x)}$ em $\csc (n x)$ .

$- (\frac{\cos (n x) n}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3.6

Separe as frações.

$- (\frac{n}{1} \cdot \frac{\cos (n x)}{\sin (n x)} (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3.7

Converta de $\frac{\cos (n x)}{\sin (n x)}$ em $\cot (n x)$ .

$- (\frac{n}{1} \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3.8

Divida $n$ por $1$ .

$- (n \cot (n x) (\cos (m x) \csc (n x))) - \frac{\sin (m x) m}{\sin (n x)}$

Etapa 9.3.9

Separe as frações.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} \cdot \frac{\sin (m x)}{\sin (n x)})$

Etapa 9.3.10

Reescreva $\frac{\sin (m x)}{\sin (n x)}$ como um produto.

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Etapa 9.3.11

Escreva $\sin (m x)$ como uma fração com denominador $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\frac{\sin (m x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (n x)}))$

Etapa 9.3.12

Simplifique.

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Etapa 9.3.12.1

Divida $\sin (m x)$ por $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \frac{1}{\sin (n x)}))$

Etapa 9.3.12.2

Converta de $\frac{1}{\sin (n x)}$ em $\csc (n x)$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - (\frac{m}{1} (\sin (m x) \csc (n x)))$

Etapa 9.3.13

Divida $m$ por $1$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$

Etapa 9.4

Reordene os fatores em $- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m (\sin (m x) \csc (n x))$ .

$- n \cot (n x) \cos (m x) \csc (n x) - m \sin (m x) \csc (n x)$