Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} x^{2} \sin (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sin (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) (2 x) d x$

Etapa 2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} - 2 \cos (x) x d x$

Etapa 3

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x)$

Etapa 4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) x d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (x) d x)$

Etapa 6

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$x^{2} (- \cos (x))]_{0}^{\frac{π}{2}} + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1.1

Avalie $x^{2} (- \cos (x))$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 (x \sin (x)]_{0}^{\frac{π}{2}} - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Etapa 7.1.2

Avalie $x \sin (x)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - (- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{2}}))$

Etapa 7.1.3

Avalie $- \cos (x)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$({(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))) - 0^{2} (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Etapa 7.1.4

Simplifique.

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Etapa 7.1.4.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) - 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Etapa 7.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 (- \cos (0)) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Etapa 7.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 \cos (0) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Etapa 7.1.4.4

Multiplique $0$ por $\cos (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 0 + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Etapa 7.1.4.5

Some ${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2}))$ e $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 ((\frac{π}{2} \sin (\frac{π}{2})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Etapa 7.1.4.6

Combine $\frac{π}{2}$ e $\sin (\frac{π}{2})$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 \sin (0) - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Etapa 7.1.4.7

Multiplique $0$ por $\sin (0)$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + 0 - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Etapa 7.1.4.8

Some $\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2}$ e $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - ((- \cos (\frac{π}{2})) + \cos (0)))$

Etapa 7.1.4.9

Para escrever $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 7.1.4.10

Combine $- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ e $\frac{2}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 (\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{2} + \frac{- (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2})$

Etapa 7.1.4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)) \cdot 2}{2}$

Etapa 7.1.4.12

Multiplique $2$ por $- 1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + 2 \frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$

Etapa 7.1.4.13

Combine $2$ e $\frac{π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))}{2}$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Etapa 7.1.4.14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.4.14.1

Cancele o fator comum.

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + \frac{2 (π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0)))}{2}$

Etapa 7.1.4.14.2

Divida $π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$ por $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- \cos (\frac{π}{2})) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \sin (\frac{π}{2}) - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Etapa 7.2.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- \cos (\frac{π}{2}) + \cos (0))$

Etapa 7.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + \cos (0))$

Etapa 7.2.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} (- 0) + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Etapa 7.2.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

${(\frac{π}{2})}^{2} \cdot 0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Etapa 7.2.6

Multiplique ${(\frac{π}{2})}^{2}$ por $0$ .

$0 + π \cdot 1 - 2 (- 0 + 1)$

Etapa 7.2.7

Multiplique $π$ por $1$ .

$0 + π - 2 (- 0 + 1)$

Etapa 7.2.8

Some $0$ e $π$ .

$π - 2 (- 0 + 1)$

Etapa 7.2.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$π - 2 (0 + 1)$

Etapa 7.2.10

Some $0$ e $1$ .

$π - 2 \cdot 1$

Etapa 7.2.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$π - 2$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$π - 2$

Forma decimal:

$1.14159265 \dots$