Cálculo Exemplos

$2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{4} (3 x^{2} + 7 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4} (3 x^{2} + 7 x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 7 x$ .

$2 (x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7 x] + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$2 (x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{4} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 (x^{4} (6 x + \frac{d}{d x} [7 x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7 \cdot 1) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.7

Multiplique $7$ por $1$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7) + (3 x^{2} + 7 x) (4 x^{3}))$

Etapa 3.9

Mova $4$ para a esquerda de $3 x^{2} + 7 x$ .

$2 (x^{4} (6 x + 7) + 4 \cdot (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2} + 7 x) x^{3})$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + (4 (3 x^{2}) + 4 (7 x)) x^{3})$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{4} (6 x) + x^{4} \cdot 7 + 4 (3 x^{2}) x^{3} + 4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{4} (6 x)) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5

Combine os termos.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.1

Mova $x$ .

$2 (x \cdot x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 4.5.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (x^{1 + 4} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.1.3

Some $1$ e $4$ .

$2 (x^{5} \cdot 6) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.2

Mova $6$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$2 (6 \cdot x^{5}) + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.3

Multiplique $6$ por $2$ .

$12 x^{5} + 2 (x^{4} \cdot 7) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.4

Mova $7$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$12 x^{5} + 2 (7 \cdot x^{4}) + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.5

Multiplique $7$ por $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (4 (3 x^{2}) x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.6

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{2} x^{3}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.7

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.7.1

Mova $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 (x^{3} x^{2})) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{3 + 2}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.7.3

Some $3$ e $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 2 (12 x^{5}) + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.8

Multiplique $12$ por $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (4 (7 x) x^{3})$

Etapa 4.5.9

Multiplique $7$ por $4$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x \cdot x^{3})$

Etapa 4.5.10

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.10.1

Mova $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x))$

Etapa 4.5.10.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 4.5.10.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 (x^{3} x^{1}))$

Etapa 4.5.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{3 + 1})$

Etapa 4.5.10.3

Some $3$ e $1$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 2 (28 x^{4})$

Etapa 4.5.11

Multiplique $28$ por $2$ .

$12 x^{5} + 14 x^{4} + 24 x^{5} + 56 x^{4}$

Etapa 4.5.12

Some $12 x^{5}$ e $24 x^{5}$ .

$36 x^{5} + 14 x^{4} + 56 x^{4}$

Etapa 4.5.13

Some $14 x^{4}$ e $56 x^{4}$ .

$36 x^{5} + 70 x^{4}$