Cálculo Exemplos

$x + \cos (x + y) = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x + \cos (x + y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \cos (x + y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$1 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$1 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 - \sin (x + y) (1 + y')$

Etapa 2.3

Reordene os termos.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- \sin (x + y) (1 + y') + 1 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $- \sin (x + y) (1 + y') + 1$ .

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Etapa 5.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \sin (x + y) \cdot 1 - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Etapa 5.1.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1 = 0$

Etapa 5.1.1.2

Reordene os fatores em $- \sin (x + y) - \sin (x + y) y' + 1$ .

$- \sin (x + y) - y' \sin (x + y) + 1 = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $\sin (x + y)$ aos dois lados da equação.

$- y' \sin (x + y) + 1 = \sin (x + y)$

Etapa 5.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ por $- \sin (x + y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- y' \sin (x + y) = \sin (x + y) - 1$ por $- \sin (x + y)$ .

$\frac{- y' \sin (x + y)}{- \sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\sin (x + y)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (x + y)}{\sin (x + y)} = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $\sin (x + y)$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{\sin (x + y)}{- \sin (x + y)} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{- 1} + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = - 1 + \frac{- 1}{- \sin (x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = - 1 + \frac{1}{\sin (x + y)}$

Etapa 5.3.3.1.4

Converta de $\frac{1}{\sin (x + y)}$ em $\csc (x + y)$ .

$y' = - 1 + \csc (x + y)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 1 + \csc (x + y)$