Cálculo Exemplos

$1 + \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Escreva $1 + \cos^{2} (x)$ como uma função.

$f (x) = 1 + \cos^{2} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 1 + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 6

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$x + C + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 10

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 11

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 13

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$x + C + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 14

Simplifique.

$x + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$x + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 16.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 16.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Etapa 16.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 16.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 1 + \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$