Cálculo Exemplos

$f (x) = - x (x + 2) (x - 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x (x + 2) (x - 2)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x (x + 2)$ e $g (x) = x - 2$ .

$- (x (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- (x (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 1.3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (x (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- (x (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \cdot 1))$

Etapa 1.5.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.6.1

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + x + 2))$

Etapa 1.5.6.2

Some $x$ e $x$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (2 x + 2))$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + (x - 2) (2 x + 2))$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x + 2))$

Etapa 1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Etapa 1.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.7.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (x^{1} x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{1 + 1} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.4

Some $1$ e $1$ .

$- x^{2} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- x^{2} - (2 \cdot x) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{1 + 1}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.10

Some $1$ e $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{2}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.12

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.13

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.14

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.15

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 1.6.7.16

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - - 4$

Etapa 1.6.7.17

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4$

Etapa 1.6.7.18

Subtraia $2 x$ de $4 x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Etapa 1.6.7.19

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 2 x + 4$

Etapa 1.6.7.20

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$- 3 x^{2} + 0 + 4$

Etapa 1.6.7.21

Some $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- 6 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x (x + 2) (x - 2)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x (x + 2)) (x - 2)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x (x + 2)$ e $g (x) = x - 2$ .

$- (x (x + 2) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- (x (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 4.1.3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (x (x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 4.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- (x (x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 4.1.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x (x + 2)])$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 2$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.5.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.5.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.1.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + (x + 2) \cdot 1))$

Etapa 4.1.5.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.6.1

Multiplique $x + 2$ por $1$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (x + x + 2))$

Etapa 4.1.5.6.2

Some $x$ e $x$ .

$- (x (x + 2) + (x - 2) (2 x + 2))$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x + x \cdot 2 + (x - 2) (2 x + 2))$

Etapa 4.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x + 2))$

Etapa 4.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - ((x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot 2 - 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x \cdot x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.7.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (x^{1} x) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{1 + 1} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.4

Some $1$ e $1$ .

$- x^{2} - (x \cdot 2) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- x^{2} - (2 \cdot x) - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - (x (2 x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x)) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 (x^{1} x^{1})) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{1 + 1}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.10

Some $1$ e $1$ .

$- x^{2} - 2 x - (2 x^{2}) - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 2 (2 x)) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.12

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - (- 4 x) - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.13

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (x \cdot 2) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.14

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - (2 \cdot x) - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.15

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - (- 2 \cdot 2)$

Etapa 4.1.6.7.16

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x - - 4$

Etapa 4.1.6.7.17

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 4 x - 2 x + 4$

Etapa 4.1.6.7.18

Subtraia $2 x$ de $4 x$ .

$- x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2 x + 4$

Etapa 4.1.6.7.19

Subtraia $2 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 2 x + 4$

Etapa 4.1.6.7.20

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$- 3 x^{2} + 0 + 4$

Etapa 4.1.6.7.21

Some $- 3 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 4$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 4$ .

$- 3 x^{2} + 4$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 4 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 4 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 3 x^{2} = - 4$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 4$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 3 x^{2} = - 4$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 3}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Etapa 5.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{4}{3}}$ como $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.3

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 5.5.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 5.5.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 5.5.4.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 5.5.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.5.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 5.5.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 9.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (2 \sqrt{3})$

Etapa 9.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Etapa 10

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.2

Multiplique $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 11.2.2.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.2.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.2.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.2.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.3

Multiplique $- \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2$ .

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Etapa 11.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - 2 \frac{2 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{- 2 (2 \sqrt{3})}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.4.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 11.2.4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.1.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{12}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.3

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

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Etapa 11.2.4.3.1

Fatore $3$ de $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 (4)}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.3.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((\frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 11.2.5

Expanda $(- \frac{4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3}) (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2) - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Etapa 11.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Etapa 11.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.6.1.1

Multiplique $- \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.1.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{2 \sqrt{3} \cdot 4}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.2

Multiplique $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 2 (\frac{4}{3}) - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.2.2

Combine $2$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{2 \cdot 4}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.3

Multiplique $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.3.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{2 \sqrt{3} (4 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.3.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.3.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.5

Multiplique $8$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{24}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.6

Cancele o fator comum de $24$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.6.1

Fatore $3$ de $24$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 (8)}{9} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.6.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 11.2.6.1.7

Multiplique $- \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1.7.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + 2 (\frac{4 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 11.2.6.1.7.2

Combine $2$ e $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{2 (4 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 11.2.6.1.7.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 11.2.6.2

Para escrever $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 11.2.6.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.3.1

Multiplique $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 11.2.6.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 11.2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 11.2.6.5

Para escrever $\frac{8}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 11.2.6.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.6.1

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3}$

Etapa 11.2.6.6.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Etapa 11.2.6.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Etapa 11.2.6.8

Para escrever $- \frac{8}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 11.2.6.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.9.1

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 11.2.6.9.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

Etapa 11.2.6.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Etapa 11.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.7.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Etapa 11.2.7.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 24 - 8 \cdot 3}{9}$

Etapa 11.2.7.3

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 8 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Etapa 11.2.7.4

Some $- 8 \sqrt{3}$ e $24 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Etapa 11.2.7.5

Subtraia $24$ de $24$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3} + 0}{9}$

Etapa 11.2.7.6

Some $16 \sqrt{3}$ e $0$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.8

A resposta final é $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$- 6 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 13.1.2

Fatore $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 13.1.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 2 \frac{- 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 13.1.4

Reescreva a expressão.

$- 2 (- 2 \sqrt{3})$

Etapa 13.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 \sqrt{3}$

Etapa 14

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3} ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.2

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Etapa 15.2.2.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.2.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.2.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.2.6

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.2.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.3

Multiplique $\frac{2 \sqrt{3}}{3} \cdot 2$ .

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Etapa 15.2.3.1

Combine $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 2}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.4.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 15.2.4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.1.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{12}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.3

Cancele o fator comum de $12$ e $9$ .

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Etapa 15.2.4.3.1

Fatore $3$ de $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 (4)}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.3.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = (- \frac{4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) ((- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - 2)$

Etapa 15.2.5

Expanda $(- \frac{4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3}) (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Etapa 15.2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3} - 2)$

Etapa 15.2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.6.1.1

Multiplique $- \frac{4}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.1.2

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.1.3

Multiplique $\frac{4}{3}$ por $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.1.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{3 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.1.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{4}{3} \cdot - 2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.2

Multiplique $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + 2 (\frac{4}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.2.2

Combine $2$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{2 \cdot 4}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.3

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{3} (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.3.1

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{4 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.3.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.3.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.3.6

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.3.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {\sqrt{3}}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8 \cdot 3}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.5

Multiplique $8$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{24}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.6

Cancele o fator comum de $24$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.6.1

Fatore $3$ de $24$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 (8)}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.6.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$

Etapa 15.2.6.1.7

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{3} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1.7.1

Combine $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ e $- 2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot - 2}{3}$

Etapa 15.2.6.1.7.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 8 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 15.2.6.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} - \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 15.2.6.2

Para escrever $- \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 15.2.6.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.2.6.3.1

Multiplique $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 15.2.6.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3}}{9} - \frac{8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 15.2.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 15.2.6.5

Para escrever $\frac{8}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 15.2.6.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.2.6.6.1

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3}$

Etapa 15.2.6.6.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Etapa 15.2.6.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3}$

Etapa 15.2.6.8

Para escrever $- \frac{8}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 15.2.6.9

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.2.6.9.1

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Etapa 15.2.6.9.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3}{9} - \frac{8 \cdot 3}{9}$

Etapa 15.2.6.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \cdot 3 + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Etapa 15.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.7.1

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 8 \cdot 3 - 8 \cdot 3}{9}$

Etapa 15.2.7.2

Multiplique $8$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 24 - 8 \cdot 3}{9}$

Etapa 15.2.7.3

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{8 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Etapa 15.2.7.4

Subtraia $24 \sqrt{3}$ de $8 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3} + 24 - 24}{9}$

Etapa 15.2.7.5

Subtraia $24$ de $24$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3} + 0}{9}$

Etapa 15.2.7.6

Some $- 16 \sqrt{3}$ e $0$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 15.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 15.2.9

A resposta final é $- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = - x (x + 2) (x - 2)$ .

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ é um máximo local

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ é um mínimo local

Etapa 17