Cálculo Exemplos

$\int (3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2})) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \sec (6 x) \tan (6 x) d x + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \sec (6 x)$ . Depois, $d u_{2} = 6 \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ , então, $\frac{1}{6} d u_{2} = \sec (6 x) \tan (6 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = \sec (6 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $\sec (6 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (6 x)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 4.1.2.2

A derivada de $\sec (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) (6 \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$\sec (6 x) \tan (6 x) \cdot 6$

Etapa 4.1.3.3.2

Mova $6$ para a esquerda de $\sec (6 x) \tan (6 x)$ .

$6 \sec (6 x) \tan (6 x)$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$3 \int \frac{1}{6} d u_{2} + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) + \int - 5 x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Etapa 6

Como $- 5$ é constante com relação a $x$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int x \csc^{2} (2 x^{2}) d x$

Etapa 7

Deixe $u_{3} = 2 x^{2}$ . Depois, $d u_{3} = 4 x d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{3} = x d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{3} = 2 x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Etapa 7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x)$

Etapa 7.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$3 (\frac{1}{6} u_{2} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $u_{2}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \csc^{2} (u_{3}) \frac{1}{4} d u_{3}$

Etapa 8.2

Combine $\csc^{2} (u_{3})$ e $\frac{1}{4}$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 \int \frac{\csc^{2} (u_{3})}{4} d u_{3}$

Etapa 9

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - 5 (\frac{1}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3})$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 5$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) + \frac{- 5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Etapa 10.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} \int \csc^{2} (u_{3}) d u_{3}$

Etapa 11

Como a derivada de $- \cot (u_{3})$ é $\csc^{2} (u_{3})$ , a integral de $\csc^{2} (u_{3})$ é $- \cot (u_{3})$ .

$3 (\frac{u_{2}}{6} + C) - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3}) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique.

$\frac{u_{2}}{2} - \frac{5}{4} (- \cot (u_{3})) + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

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Etapa 12.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + 1 (\frac{5}{4}) \cot (u_{3}) + C$

Etapa 12.2.2

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $1$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5}{4} \cot (u_{3}) + C$

Etapa 12.2.3

Combine $\frac{5}{4}$ e $\cot (u_{3})$ .

$\frac{u_{2}}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sec (6 x)$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (u_{3})}{4} + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $2 x^{2}$ .

$\frac{\sec (6 x)}{2} + \frac{5 \cot (2 x^{2})}{4} + C$

Etapa 14

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \sec (6 x) + \frac{5}{4} \cot (2 x^{2}) + C$