Cálculo Exemplos

$y' = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$

Etapa 2

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Divida a fração $\frac{y^{2} + x^{2}}{2 x y}$ em duas frações.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.2.1

Fatore $y$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x^{2}}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{2 x y}$

Etapa 2.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x \cdot x}{x (2 y)}$

Etapa 2.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x}{2 y}$

Etapa 2.2

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y}{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{x}{2 y}$

Etapa 2.2.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{2 y}$

Etapa 2.3

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore $\frac{x}{y}$ a partir de $\frac{x}{2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Fatore $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 2.3.1.2

Reordene $\frac{x}{y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y}$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} + \frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Etapa 3

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Etapa 4

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 5

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 6

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} V^{- 1}$

Etapa 7.1.1.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Etapa 7.1.1.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V}$

Etapa 7.1.1.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$

Etapa 7.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 7.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 7.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.2

Para escrever $- V$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.3.1

Combine $- V$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.1.1

Fatore $V$ de $V - V \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Fatore $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Fatore $V$ de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Fatore $V$ de $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.1.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.4.1

Para escrever $- \frac{V}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.4.2

Multiplique $\frac{V}{2}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{2 V} - \frac{V \cdot V}{2 V}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.4.4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V \cdot V}{2 V}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.4.4.2

Reescreva $V \cdot V$ como $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1^{2} - V^{2}}{2 V}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.4.4.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 7.1.1.3.3.6

Multiplique $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Etapa 7.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 7.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} (\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 7.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.1

Multiplique $\frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Etapa 7.1.4.2

Cancele o fator comum de $2 V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.2.1

Fatore $2 V$ de $2 V x$ .

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V (x)}$

Etapa 7.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{2 V x}$

Etapa 7.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Etapa 7.1.4.3

Cancele o fator comum de $(1 + V) (1 - V)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.4.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{(1 + V) (1 - V)} \cdot \frac{(1 + V) (1 - V)}{x}$

Etapa 7.1.4.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 7.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2 V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $V$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{V}{(1 + V) (1 - V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.2

Deixe $u = (1 + V) (1 - V)$ . Depois, $d u = - 2 V d V$ , então, $- \frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Deixe $u = (1 + V) (1 - V)$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.1

Diferencie $(1 + V) (1 - V)$ .

$\frac{d}{d V} [(1 + V) (1 - V)]$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d V} [f (V) g (V)]$ é $f (V) \frac{d}{d V} [g (V)] + g (V) \frac{d}{d V} [f (V)]$ , em que $f (V) = 1 + V$ e $g (V) = 1 - V$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [1 - V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - V$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $1$ em relação a $V$ é $0$ .

$(1 + V) (0 + \frac{d}{d V} [- V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d V} [- V]$ .

$(1 + V) \frac{d}{d V} [- V] + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $- V$ em relação a $V$ é $- \frac{d}{d V} [V]$ .

$(1 + V) (- \frac{d}{d V} [V]) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + V) (- 1 \cdot 1) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 + V) \cdot - 1 + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $1 + V$ .

$- 1 \cdot (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3.6.3

Reescreva $- 1 (1 + V)$ como $- (1 + V)$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [1 + V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + V$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V])$

Etapa 7.2.2.2.1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $1$ em relação a $V$ é $0$ .

$- (1 + V) + (1 - V) (0 + \frac{d}{d V} [V])$

Etapa 7.2.2.2.1.3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d V} [V]$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \frac{d}{d V} [V]$

Etapa 7.2.2.2.1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (1 + V) + (1 - V) \cdot 1$

Etapa 7.2.2.2.1.3.11

Multiplique $1 - V$ por $1$ .

$- (1 + V) + 1 - V$

Etapa 7.2.2.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 1 - V + 1 - V$

Etapa 7.2.2.2.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 - V + 1 - V$

Etapa 7.2.2.2.1.4.2.2

Some $- 1$ e $1$ .

$- V + 0 - V$

Etapa 7.2.2.2.1.4.2.3

Some $- V$ e $0$ .

$- V - V$

Etapa 7.2.2.2.1.4.2.4

Subtraia $V$ de $- V$ .

$- 2 V$

Etapa 7.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.3.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$2 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.7.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.7.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.7.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.7.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.8

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.9

Simplifique.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.2.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(1 + V) (1 - V)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 7.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 7.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \ln (| (1 + V) (1 - V) |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 7.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (| (1 + | x |) (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Expanda $(1 + | x |) (1 - | x |)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \ln (| 1 (1 - | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | (1 - | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.2.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$- \ln (| 1 + 1 (- | x |) + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Multiplique $- | x |$ por $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | \cdot 1 + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.2.1.3

Multiplique $| x |$ por $1$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | + | x | (- | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - | x | | x | |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.2.1.5

Multiplique $| x |$ por $| x |$ somando os expoentes.

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Etapa 7.3.2.2.1.5.1

Mova $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - (| x | | x |) |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.2.1.5.2

Multiplique $| x |$ por $| x |$ .

$- \ln (| 1 - | x | + | x | - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.2.2

Some $- | x |$ e $| x |$ .

$- \ln (| 1 + 0 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.2.2.3

Some $1$ e $0$ .

$- \ln (| 1 - {| x |}^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Etapa 7.3.3

Some $\ln (| x |)$ aos dois lados da equação.

$- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$

Etapa 7.3.4

Divida cada termo em $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.3.4.1

Divida cada termo em $- \ln (| 1 - V^{2} |) = C + \ln (| x |)$ por $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - V^{2} |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 7.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\ln (| 1 - V^{2} |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 7.3.4.2.2

Divida $\ln (| 1 - V^{2} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 7.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.4.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 7.3.4.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot C$ como $- C$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Etapa 7.3.4.3.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Etapa 7.3.4.3.1.4

Reescreva $- 1 \cdot \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} |) = - C - \ln (| x |)$

Etapa 7.3.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 - V^{2} |) + \ln (| x |) = - C$

Etapa 7.3.6

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - V^{2} | | x |) = - C$

Etapa 7.3.7

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (1 - V^{2}) x |) = - C$

Etapa 7.3.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 x - V^{2} x |) = - C$

Etapa 7.3.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (| x - V^{2} x |) = - C$

Etapa 7.3.10

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| x - V^{2} x |)} = e^{- C}$

Etapa 7.3.11

Reescreva $\ln (| x - V^{2} x |) = - C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = | x - V^{2} x |$

Etapa 7.3.12

Resolva $V$ .

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Etapa 7.3.12.1

Reescreva a equação como $| x - V^{2} x | = e^{- C}$ .

$| x - V^{2} x | = e^{- C}$

Etapa 7.3.12.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x - V^{2} x = \pm e^{- C}$

Etapa 7.3.12.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$

Etapa 7.3.12.4

Divida cada termo em $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ por $- x$ e simplifique.

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Etapa 7.3.12.4.1

Divida cada termo em $- V^{2} x = \pm e^{- C} - x$ por $- x$ .

$\frac{- V^{2} x}{- x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 7.3.12.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.12.4.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 7.3.12.4.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.3.12.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 7.3.12.4.2.2.2

Divida $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{- x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 7.3.12.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.12.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.12.4.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm e^{- C}}{- x}$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{- x}{- x}$

Etapa 7.3.12.4.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Etapa 7.3.12.4.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.3.12.4.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}$

Etapa 7.3.12.4.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$V^{2} = \frac{\pm e^{- C}}{x} + 1$

Etapa 7.3.12.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$

Etapa 7.3.12.6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + 1}$ .

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Etapa 7.3.12.6.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Etapa 7.3.12.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$

Etapa 7.3.12.6.3

Reescreva $\sqrt{\frac{\pm e^{- C} + x}{x}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 7.3.12.6.4

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 7.3.12.6.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.12.6.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 7.3.12.6.5.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Etapa 7.3.12.6.5.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Etapa 7.3.12.6.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.3.12.6.5.5

Some $1$ e $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 7.3.12.6.5.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 7.3.12.6.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.3.12.6.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.3.12.6.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.12.6.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.12.6.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.12.6.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Etapa 7.3.12.6.5.6.5

Simplifique.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{- C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Etapa 7.3.12.6.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$

Etapa 7.3.12.6.7

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{- C} + x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{- C} + x)}}{x}$

Etapa 7.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Etapa 8

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$

Etapa 9

Resolva $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$ para $y$ .

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Etapa 9.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Etapa 9.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 9.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$

Etapa 9.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}) x$