Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.1.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.1.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (4 - (2 lim_{x \to 2} x)) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 1.2.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{\cos (4 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.3.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{\cos (4 - 4) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.3.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}$

Etapa 1.3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}$

Etapa 1.3.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}$

Etapa 1.3.1.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 1 \cdot 3)}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.3.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (4 - 2 x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 - 2 x$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3.7

Subtraia $2$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.5

Some $2 \sin (4 - 2 x)$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x - 3$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Etapa 3.6.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 3.11

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + 0)}$

Etapa 3.12

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \cdot 2}$

Etapa 3.13

Combine $\frac{1}{2 x - 3}$ e $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{2}{2 x - 3}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 2} 2 \sin (4 - 2 x) \frac{2 x - 3}{2}$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{2 x - 3}{2}$ e $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2} \sin (4 - 2 x)$

Etapa 5.2

Combine $\frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2}$ e $\sin (4 - 2 x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Etapa 6.2

Divida $(2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} (2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Etapa 9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Etapa 10

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Etapa 11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)$

Etapa 12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Etapa 13

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Etapa 14

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Etapa 15

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 15.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Etapa 15.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Etapa 16

Simplifique a resposta.

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Etapa 16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$(4 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Etapa 16.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$(4 - 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Etapa 16.2

Subtraia $3$ de $4$ .

$1 \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Etapa 16.3

Multiplique $\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$ por $1$ .

$\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Etapa 16.4

Multiplique $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

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Etapa 16.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sin (4 - 2 \cdot 2)$

Etapa 16.4.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\sin (4 - 4)$

Etapa 16.5

Subtraia $4$ de $4$ .

$\sin (0)$

Etapa 16.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0$