Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 16}{x^{2}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} {(x^{2} - 4)}^{2} - 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(x^{2} - 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de ${(x^{2} - 4)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x^{2} - 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}^{2} - lim_{x \to 0} 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{{(0^{2} - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{{(0 - 1 \cdot 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{{(0 - 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{16 - 1 \cdot 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{16 - 16}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $16$ de $16$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(x^{2} - 4)}^{2} - 16}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2} - 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x^{2} - 4)}^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4)}^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x^{2} - 4) (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (x^{2} - 4) x + \frac{d}{d x} [- 16]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (x^{2} - 4) x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.3

Combine os termos.

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Etapa 1.3.5.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.3.3

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.3.4

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.5.3.5

Some $4 x^{3} - 16 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{2 x}$

Etapa 2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{x}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 4 x^{3} - lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 lim_{x \to 0} x^{3} - lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - lim_{x \to 0} 16 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.4

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} - 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 0^{3} - 16 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 0^{3} - 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 0 - 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.6.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 - 16 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.6.1.3

Multiplique $- 16$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.2.6.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{3} - 16 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3} - 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Etapa 3.3.4.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.4.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{12 x^{2} - 16}{1}$

Etapa 3.4

Divida $12 x^{2} - 16$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 12 x^{2} - 16$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 16)$

Etapa 4.2

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (12 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 16)$

Etapa 4.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} (12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 16)$

Etapa 4.4

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} (12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 16)$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (12 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 16)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} (12 \cdot 0 - 1 \cdot 16)$

Etapa 6.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 16)$

Etapa 6.1.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{1}{2} (0 - 16)$

Etapa 6.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 16$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (- 8))$

Etapa 6.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 8)$

Etapa 6.3.3

Reescreva a expressão.

$- 8$