Cálculo Exemplos

$- x^{3} + 5 x - 3 y^{2} + 2 = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- x^{3} + 5 x - 3 y^{2} + 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 5 x - 3 y^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 5 + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 6 y y' + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 6 y y' + 0$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some $- 3 x^{2} + 5 - 6 y y'$ e $0$ .

$- 3 x^{2} + 5 - 6 y y'$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$- 3 x^{2} - 6 y y' + 5$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 x^{2} - 6 y y' + 5 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Some $3 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$- 6 y y' + 5 = 3 x^{2}$

Etapa 5.1.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 6 y y' = 3 x^{2} - 5$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- 6 y y' = 3 x^{2} - 5$ por $- 6 y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- 6 y y' = 3 x^{2} - 5$ por $- 6 y$ .

$\frac{- 6 y y'}{- 6 y} = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 y y'}{- 6 y} = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ e $- 6$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{3 (x^{2})}{- 6 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Fatore $3$ de $- 6 y$ .

$y' = \frac{3 (x^{2})}{3 (- 2 y)} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 (- 2 y)} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x^{2}}{- 2 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x^{2}}{2 y} + \frac{- 5}{- 6 y}$

Etapa 5.2.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y' = - \frac{x^{2}}{2 y} + \frac{5}{6 y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2}}{2 y} + \frac{5}{6 y}$