Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 3} \frac{6}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{6}{x^{2} - 9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{1}{x - 3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x^{2} - 9) (x - 3)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{6}{x^{2} - 9}$ por $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{1}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{x - 3}$ por $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{x^{2} - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x^{2} - 9) (x - 3)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} - \frac{x^{2} - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 3} \frac{6 (x - 3) - (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} 6 (x - 3) - (x^{2} - 9)}{lim_{x \to 3} (x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 2.1.2

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite de $6 (x - 3) - (x^{2} - 9)$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{6 (3 - 3) - (3^{2} - 9)}{lim_{x \to 3} (x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.2.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{6 \cdot 0 - (3^{2} - 9)}{lim_{x \to 3} (x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0 - (3^{2} - 9)}{lim_{x \to 3} (x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 2.1.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{0 - (9 - 9)}{lim_{x \to 3} (x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 2.1.2.2.4

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 3} (x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 2.1.2.2.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 3} (x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 2.1.2.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} (x - 3) (x^{2} - 9)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3 \cdot lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3) \cdot lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 3} x^{2} - 9}$

Etapa 2.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) \cdot (lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 9)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 9)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{(3 - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{(3 - 1 \cdot 3) \cdot (3^{2} - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{(3 - 3) \cdot (3^{2} - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0 \cdot (3^{2} - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.8.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.8.3.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 9)}$

Etapa 2.1.3.8.4

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 3} \frac{6 (x - 3) - (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x - 3) - (x^{2} - 9)]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x - 3) - (x^{2} - 9)]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 (x - 3) - (x^{2} - 9)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 (x - 3)] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 9)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [6 (x - 3)] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 9)]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 (x - 3)]$ .

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Etapa 2.3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 (x - 3)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 \frac{d}{d x} [x - 3] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 9)]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 9)]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 9)]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 9)]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 9)]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.3.6

Multiplique $6$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 9)]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 9)]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x^{2} - 9)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.4.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 - (2 x + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.4.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{6 - 2 x}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.5

Reordene os termos.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{\frac{d}{d x} [(x - 3) (x^{2} - 9)]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = x^{2} - 9$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] + (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 2.3.9

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{(x - 3) (2 x + 0) + (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 2.3.10

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{(x - 3) (2 x) + (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 2.3.11

Mova $2$ para a esquerda de $x - 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 \cdot (x - 3) x + (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

Etapa 2.3.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 (x - 3) x + (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 2.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 (x - 3) x + (x^{2} - 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Etapa 2.3.14

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 (x - 3) x + (x^{2} - 9) (1 + 0)}$

Etapa 2.3.15

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 (x - 3) x + (x^{2} - 9) \cdot 1}$

Etapa 2.3.16

Multiplique $x^{2} - 9$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 (x - 3) x + x^{2} - 9}$

Etapa 2.3.17

Simplifique.

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Etapa 2.3.17.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{(2 x + 2 \cdot - 3) x + x^{2} - 9}$

Etapa 2.3.17.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x + x^{2} - 9}$

Etapa 2.3.17.3

Combine os termos.

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Etapa 2.3.17.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 3 x + x^{2} - 9}$

Etapa 2.3.17.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 3 x + x^{2} - 9}$

Etapa 2.3.17.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 3 x + x^{2} - 9}$

Etapa 2.3.17.3.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x + x^{2} - 9}$

Etapa 2.3.17.3.5

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{2 x^{2} - 6 x + x^{2} - 9}$

Etapa 2.3.17.3.6

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 3} - 2 x + 6}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 3.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{- lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 3.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 3.1.2.1.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 3} x + 6}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 3.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{- 2 \cdot 3 + 6}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6 + 6}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 3.1.2.3.2

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - 6 x - 9}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 3 x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 9}$

Etapa 3.1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 9}$

Etapa 3.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 6 x - lim_{x \to 3} 9}$

Etapa 3.1.3.4

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 9}$

Etapa 3.1.3.5

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.6

Avalie os limites substituindo $3$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 3^{2} - 6 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.7.1.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.7.1.1.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.7.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$\frac{0}{3^{1} \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.7.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{0}{3^{1 + 2} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.7.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{0}{3^{3} - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.7.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{27 - 6 \cdot 3 - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.7.1.3

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$\frac{0}{27 - 18 - 1 \cdot 9}$

Etapa 3.1.3.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{27 - 18 - 9}$

Etapa 3.1.3.7.2

Subtraia $18$ de $27$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Etapa 3.1.3.7.3

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 3.2

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 x + 6}{3 x^{2} - 6 x - 9} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x - 9]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 x + 6]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x - 9]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x + 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x - 9]}$

Etapa 3.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 3.3.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x - 9]}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x - 9]}$

Etapa 3.3.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 + \frac{d}{d x} [6]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x - 9]}$

Etapa 3.3.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x - 9]}$

Etapa 3.3.5

Some $- 2$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 6 x - 9]}$

Etapa 3.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 6 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 3.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.7.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 3.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 3.3.7.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 3.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 3.3.8.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 3.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 3.3.8.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{6 x - 6 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Etapa 3.3.9

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{6 x - 6 + 0}$

Etapa 3.3.10

Some $6 x - 6$ e $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 2}{6 x - 6}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $6 x - 6$ .

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Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (- 1)}{6 x - 6}$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (- 1)}{2 (3 x) - 6}$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot - 1}{2 (3 x) + 2 \cdot - 3}$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $2$ de $2 (3 x) + 2 (- 3)$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 (- 1)}{2 (3 x - 3)}$

Etapa 3.4.2.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 3} \frac{2 \cdot - 1}{2 (3 x - 3)}$

Etapa 3.4.2.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 3} \frac{- 1}{3 x - 3}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{lim_{x \to 3} - 1}{lim_{x \to 3} 3 x - 3}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $- 1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 3} 3 x - 3}$

Etapa 4.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{- 1}{lim_{x \to 3} 3 x - lim_{x \to 3} 3}$

Etapa 4.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- 1}{3 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Etapa 4.5

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $3$ .

$\frac{- 1}{3 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $3$ por $x$ .

$\frac{- 1}{3 \cdot 3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{- 1}{9 - 1 \cdot 3}$

Etapa 6.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 1}{9 - 3}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $3$ de $9$ .

$\frac{- 1}{6}$

Etapa 6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{6}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{6}$

Forma decimal:

$- 0.1\overline{6}$