Cálculo Exemplos

$y = x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.7.1

Mova $x^{2}$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.8

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 + 0$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4 + 0$

Etapa 1.5.2.2

Some $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{3}$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 2.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} - 24 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Etapa 2.5.2

Combine os termos.

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Etapa 2.5.2.1

Combine $- 24$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$20 x^{3} + \frac{- 24}{x^{5}} + 0$

Etapa 2.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}} + 0$

Etapa 2.5.2.3

Some $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{24}{x^{5}}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{5}}$ como ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Etapa 3.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $x^{- 10}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.7.1

Mova $x^{4}$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Etapa 3.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{4 - 10})$

Etapa 3.3.7.3

Subtraia $10$ de $4$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 6})$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 5$ por $- 24$ .

$60 x^{2} + 120 x^{- 6}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 x^{2} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

Etapa 3.4.2

Combine $120$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$