Cálculo Exemplos

$- 2 y^{2} + x^{2} = - 2 + y + 2 y^{3}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 2 + y + 2 y^{3})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 y^{2} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 y^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 y y' + 2 x$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 + y + 2 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 3.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + y' + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$0 + y' + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$0 + y' + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + y' + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$0 + y' + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$0 + y' + 2 (3 y^{2} y')$

Etapa 3.4.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$0 + y' + 6 y^{2} y'$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Some $0$ e $y'$ .

$y' + 6 y^{2} y'$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$6 y^{2} y' + y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 4 y y' + 2 x = 6 y^{2} y' + y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Como $y'$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$6 y^{2} y' + y' = - 4 y y' + 2 x$

Etapa 5.2

Some $4 y y'$ aos dois lados da equação.

$6 y^{2} y' + y' + 4 y y' = 2 x$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $6 y^{2} y' + y' + 4 y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de $6 y^{2} y'$ .

$y' (6 y^{2}) + y' + 4 y y' = 2 x$

Etapa 5.3.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (6 y^{2}) + y' + 4 y y' = 2 x$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (6 y^{2}) + y' \cdot 1 + 4 y y' = 2 x$

Etapa 5.3.4

Fatore $y'$ de $4 y y'$ .

$y' (6 y^{2}) + y' \cdot 1 + y' (4 y) = 2 x$

Etapa 5.3.5

Fatore $y'$ de $y' (6 y^{2}) + y' \cdot 1$ .

$y' (6 y^{2} + 1) + y' (4 y) = 2 x$

Etapa 5.3.6

Fatore $y'$ de $y' (6 y^{2} + 1) + y' (4 y)$ .

$y' (6 y^{2} + 1 + 4 y) = 2 x$

Etapa 5.4

Reordene os termos.

$y' (6 y^{2} + 4 y + 1) = 2 x$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (6 y^{2} + 4 y + 1) = 2 x$ por $6 y^{2} + 4 y + 1$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (6 y^{2} + 4 y + 1) = 2 x$ por $6 y^{2} + 4 y + 1$ .

$\frac{y' (6 y^{2} + 4 y + 1)}{6 y^{2} + 4 y + 1} = \frac{2 x}{6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $6 y^{2} + 4 y + 1$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (6 y^{2} + 4 y + 1)}{6 y^{2} + 4 y + 1} = \frac{2 x}{6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{6 y^{2} + 4 y + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{6 y^{2} + 4 y + 1}$