Cálculo Exemplos

$2 = 5 x y + 5 y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2) = \frac{d}{d x} (5 x y + 5 y)$

Etapa 2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x y + 5 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x y] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x y] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x y]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 3.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$5 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$5 (x y' + y) + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$5 (x y' + y) + 5 y'$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x y' + 5 y + 5 y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$0 = 5 x y' + 5 y + 5 y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $5 x y' + 5 y + 5 y' = 0$ .

$5 x y' + 5 y + 5 y' = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $5 y$ dos dois lados da equação.

$5 x y' + 5 y' = - 5 y$

Etapa 5.3

Fatore $5 y'$ de $5 x y' + 5 y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $5 y'$ de $5 x y'$ .

$5 y' x + 5 y' = - 5 y$

Etapa 5.3.2

Fatore $5 y'$ de $5 y'$ .

$5 y' x + 5 y' \cdot 1 = - 5 y$

Etapa 5.3.3

Fatore $5 y'$ de $5 y' x + 5 y' \cdot 1$ .

$5 y' (x + 1) = - 5 y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $5 y' (x + 1) = - 5 y$ por $5 (x + 1)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $5 y' (x + 1) = - 5 y$ por $5 (x + 1)$ .

$\frac{5 y' (x + 1)}{5 (x + 1)} = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y' (x + 1)}{5 (x + 1)} = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 5 y}{5 (x + 1)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

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Etapa 5.4.3.1.1

Fatore $5$ de $- 5 y$ .

$y' = \frac{5 (- y)}{5 (x + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{5 (- y)}{5 (x + 1)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{x + 1}$

Etapa 5.4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x + 1}$