Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{8 - 2 x - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Reescreva $8$ como $9$ mais $- 1$

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - 1 - 2 x - x^{2}}} d x$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 x + x^{2})}} d x$

Etapa 2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

Etapa 2.3

Reescreva o polinômio.

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - (1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2})}} d x$

Etapa 2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{9 - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Etapa 3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - {(1 + x)}^{2}}} d x$

Etapa 4

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Etapa 6

Reescreva $\arcsin (\frac{u}{3}) + C$ como $\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} u) + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x$ .

$\arcsin (\frac{1}{3} (1 + x)) + C$