Cálculo Exemplos

$4 x y - x^{2} - 2 = 2 y^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (4 x y - x^{2} - 2) = \frac{d}{d x} (2 y^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x y - x^{2} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x y' + y) - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (x y' + y) - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (x y' + y) - 2 x + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x y') + 4 y - 2 x + 0$

Etapa 2.5.2

Some $4 x y' + 4 y - 2 x$ e $0$ .

$4 x y' + 4 y - 2 x$

Etapa 2.5.3

Reordene os termos.

$4 x y' - 2 x + 4 y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 y y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$4 x y' - 2 x + 4 y = 4 y y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $4 y y'$ dos dois lados da equação.

$4 x y' - 2 x + 4 y - 4 y y' = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$4 x y' + 4 y - 4 y y' = 2 x$

Etapa 5.2.2

Subtraia $4 y$ dos dois lados da equação.

$4 x y' - 4 y y' = 2 x - 4 y$

Etapa 5.3

Fatore $4 y'$ de $4 x y' - 4 y y'$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $4 y'$ de $4 x y'$ .

$4 y' x - 4 y y' = 2 x - 4 y$

Etapa 5.3.2

Fatore $4 y'$ de $- 4 y y'$ .

$4 y' x + 4 y' (- y) = 2 x - 4 y$

Etapa 5.3.3

Fatore $4 y'$ de $4 y' x + 4 y' (- y)$ .

$4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ por $4 (x - y)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $4 y' (x - y) = 2 x - 4 y$ por $4 (x - y)$ .

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y' (x - y)}{4 (x - y)} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $x - y$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x - y)}{x - y} = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 5.4.3.1.1.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $4 (x - y)$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 (x - y))} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- 4 y}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

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Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $4$ de $- 4 y$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{4 (- y)}{4 (x - y)}$

Etapa 5.4.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} + \frac{- y}{x - y}$

Etapa 5.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y}$

Etapa 5.4.3.2

Para escrever $- \frac{y}{x - y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y}{x - y} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.4.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (x - y)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.3.3.1

Multiplique $\frac{y}{x - y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{(x - y) \cdot 2}$

Etapa 5.4.3.3.2

Reordene os fatores de $(x - y) \cdot 2$ .

$y' = \frac{x}{2 (x - y)} - \frac{y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Etapa 5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{x - y \cdot 2}{2 (x - y)}$

Etapa 5.4.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y' = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2 y}{2 (x - y)}$