Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \cos (x)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Etapa 2

Reescreva $- 1 u^{3}$ como $- u^{3}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 5

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{u^{4}}{4}$ em $\frac{1}{2}$ e em $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Etapa 6.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

Etapa 7.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

Etapa 7.2.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

Etapa 7.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

Etapa 7.4

Combine $- 1$ e $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Etapa 7.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.6.1

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

Etapa 7.6.2

Subtraia $16$ de $1$ .

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

Etapa 7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

Etapa 7.8

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 7.9

Multiplique $- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Etapa 7.9.1

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{15}{16}$ .

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

Etapa 7.9.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$- - \frac{15}{64}$

Etapa 7.10

Multiplique $- - \frac{15}{64}$ .

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Etapa 7.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Etapa 7.10.2

Multiplique $\frac{15}{64}$ por $1$ .

$\frac{15}{64}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{15}{64}$

Forma decimal:

$0.234375$