Cálculo Exemplos

$\ln (1 + x)$

Etapa 1

Escreva $\ln (1 + x)$ como uma função.

$f (x) = \ln (1 + x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \ln (1 + x) d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (1 + x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (1 + x) x - \int x \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 5

Combine $x$ e $\frac{1}{x + 1}$ .

$\ln (1 + x) x - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 6

Divida $x$ por $x + 1$ .

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Etapa 6.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 6.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 6.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 6.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 6.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 6.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (1 + x) x - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (1 + x) x - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\ln (1 + x) x - (x + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 10

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 10.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 10.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 10.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 + x) x - (x + C - (\ln (| u |) + C))$

Etapa 12

Simplifique.

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| u |) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \ln (1 + x)$ .

$F (x) =$ $\ln (1 + x) x - x + \ln (| x + 1 |) + C$