Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} 2 x e^{x^{2}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} 2 x e^{x^{2}} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{0}^{t} x e^{x^{2}} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Depois, $d u_{2} = 2 x e^{x^{2}} d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x e^{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{2} = e^{x^{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $e^{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x^{2}}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$e^{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x^{2}} (2 x)$

Etapa 3.1.4

Simplifique.

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Etapa 3.1.4.1

Reordene os fatores de $e^{x^{2}} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2}} x$

Etapa 3.1.4.2

Reordene os fatores em $2 e^{x^{2}} x$ .

$2 x e^{x^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{0^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Etapa 3.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = e^{x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Etapa 3.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{t^{2}}$

Etapa 3.6

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} 2 \int_{1}^{e^{t^{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{u_{2}}{2}]_{1}^{e^{t^{2}}})$

Etapa 5.2

Avalie $\frac{u_{2}}{2}$ em $e^{t^{2}}$ e em $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 (\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2})$

Etapa 6

Como a função $\frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $2$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 6.1

Considere o limite com o múltiplo constante $2$ removido.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2

Avalie o limite.

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Etapa 6.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t^{2}} - 1}{2}$

Etapa 6.2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Etapa 6.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} e^{t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Etapa 6.3

Como o expoente $t^{2}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{t^{2}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty - lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Etapa 6.4

Avalie o limite.

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Etapa 6.4.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{lim_{t \to \infty} 2}$

Etapa 6.4.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty - 1 \cdot 1}{2}$

Etapa 6.4.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.4.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.3.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\infty - 1}{2}$

Etapa 6.4.3.1.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{2}$

Etapa 6.4.3.2

Infinito dividido por tudo o que é finito e diferente de zero é infinito.

$\infty$