Cálculo Exemplos

$\frac{{(x - 3)}^{3}}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = {(x - 3)}^{3}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{3}] - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - {(x - 3)}^{3} (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Fatore $x {(x - 3)}^{2}$ de $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2}) - 2 {(x - 3)}^{3} x$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $x {(x - 3)}^{2}$ de $x^{2} (3 {(x - 3)}^{2})$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) - 2 {(x - 3)}^{3} x}{x^{4}}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $x {(x - 3)}^{2}$ de $- 2 {(x - 3)}^{3} x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $x {(x - 3)}^{2}$ de $x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3)) + x {(x - 3)}^{2} (- 2 (x - 3))$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x \cdot (3) - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Etapa 5.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x - 2 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (3 x - 2 x + 6)}{x^{4}}$

Etapa 5.1.5

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x {(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{4}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{4}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $x {(x - 3)}^{2} (x + 6)$ .

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x^{4}}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x ({(x - 3)}^{2} (x + 6))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x - 3)}^{2} (x + 6)}{x^{3}}$