Cálculo Exemplos

$y = (x^{2} + 5) (3 x + 1)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((x^{2} + 5) (3 x + 1))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x^{2} + 5$ e $g (y) = 3 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) \frac{d}{d y} [3 x + 1] + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(x^{2} + 5) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.2.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(x^{2} + 5) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + \frac{d}{d y} [1]) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.4

Diferencie.

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Etapa 3.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x' + 0) + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.4.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.2.1

Some $3 x'$ e $0$ .

$(x^{2} + 5) (3 x') + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.4.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2} + 5$ .

$3 \cdot (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) \frac{d}{d y} [x^{2} + 5]$

Etapa 3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5]$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [5])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{2}$ e $g (y) = x$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5])$

Etapa 3.6

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + \frac{d}{d y} [5])$

Etapa 3.7

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5$ em relação a $y$ é $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x' + 0)$

Etapa 3.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.8.1

Some $2 x x'$ e $0$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + (3 x + 1) (2 x x')$

Etapa 3.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $3 x + 1$ .

$3 (x^{2} + 5) x' + 2 \cdot (3 x + 1) x x'$

Etapa 3.9

Simplifique.

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Etapa 3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} + 3 \cdot 5) x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Etapa 3.9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x + 1) x x'$

Etapa 3.9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) + 2 \cdot 1) x x'$

Etapa 3.9.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + (2 (3 x) x + 2 \cdot 1 x) x'$

Etapa 3.9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} x' + 3 \cdot 5 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Etapa 3.9.6

Combine os termos.

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Etapa 3.9.6.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 2 (3 x) x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Etapa 3.9.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x \cdot x x' + 2 \cdot 1 x x'$

Etapa 3.9.6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Etapa 3.9.6.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 (x^{1} x^{1}) x' + 2 \cdot 1 x x'$

Etapa 3.9.6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{1 + 1} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Etapa 3.9.6.6

Some $1$ e $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 \cdot 1 x x'$

Etapa 3.9.6.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 x^{2} x' + 15 x' + 6 x^{2} x' + 2 x x'$

Etapa 3.9.6.8

Some $3 x^{2} x'$ e $6 x^{2} x'$ .

$9 x^{2} x' + 15 x' + 2 x x'$

Etapa 3.9.7

Reordene os termos.

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$1 = 9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$ .

$9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x' = 1$

Etapa 5.2

Fatore $x'$ de $9 x^{2} x' + 2 x x' + 15 x'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x'$ de $9 x^{2} x'$ .

$x' (9 x^{2}) + 2 x x' + 15 x' = 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $x'$ de $2 x x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + 15 x' = 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $x'$ de $15 x'$ .

$x' (9 x^{2}) + x' (2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Etapa 5.2.4

Fatore $x'$ de $x' (9 x^{2}) + x' (2 x)$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15 = 1$

Etapa 5.2.5

Fatore $x'$ de $x' (9 x^{2} + 2 x) + x' \cdot 15$ .

$x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ por $9 x^{2} + 2 x + 15$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x' (9 x^{2} + 2 x + 15) = 1$ por $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $9 x^{2} + 2 x + 15$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (9 x^{2} + 2 x + 15)}{9 x^{2} + 2 x + 15} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} + 2 x + 15}$