Cálculo Exemplos

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

Etapa 1

Para encontrar o volume do sólido, primeiro defina a área de cada parte e, depois, integre em todo o intervalo. A área de cada parte é a área de um círculo com o raio $f (x)$ e $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ em que $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

Etapa 2

Simplifique o integrando.

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Etapa 2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{1 + x}$ .

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 2.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

Etapa 3

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

Etapa 4

Mova $9$ para a esquerda de $π$ .

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 1 + x$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 5.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 5.3

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 3$

Etapa 5.5

Some $1$ e $3$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 6.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 6.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

Etapa 8

Substitua e simplifique.

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Etapa 8.1

Avalie $- u^{- 1}$ em $4$ e em $1$ .

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Etapa 8.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

Etapa 8.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Etapa 8.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

Etapa 8.2.5

Some $- 1$ e $4$ .

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

Etapa 8.2.6

Combine $\frac{3}{4}$ e $9$ .

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

Etapa 8.2.7

Multiplique $3$ por $9$ .

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

Etapa 8.2.8

Combine $\frac{27}{4}$ e $π$ .

$V = \frac{27 π}{4}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$V = \frac{27 π}{4}$

Forma decimal:

$V = 21.20575041 \dots$

Etapa 10