Cálculo Exemplos

$f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sin^{2} (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x) + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 9

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 10

Combine $\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 12

A integral de $\cos (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 13

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 15

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 16

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 17

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 17.1

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 17.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 17.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 17.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 17.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 17.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 18

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 19

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 20

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 21

Simplifique.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{1})) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 22

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 22.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 22.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 23.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 23.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 23.4

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Etapa 23.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 23.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 23.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 23.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 23.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 23.8

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Etapa 23.8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 23.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 24

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Etapa 25

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$