Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x^{6} - x}{x^{3}} d x$

Etapa 3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1

Simplifique.

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x^{6} - x$ .

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Etapa 3.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{6}$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} - x}{x^{3}} d x$

Etapa 3.1.1.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\int \frac{x \cdot x^{5} + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

Etapa 3.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{5} + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x^{3}} d x$

Etapa 3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{x (x^{5} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{x^{5} - 1}{x^{2}} d x$

Etapa 3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x^{5} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int (x^{5} - 1) x^{- 2} d x$

Etapa 4

Multiplique $(x^{5} - 1) x^{- 2}$ .

$\int x^{5} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $x^{5}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{5 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\int x^{3} - 1 x^{- 2} d x$

Etapa 5.2

Reescreva $- 1 x^{- 2}$ como $- x^{- 2}$ .

$\int x^{3} - x^{- 2} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{3} d x + \int - x^{- 2} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int - x^{- 2} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} x^{4} + C - \int x^{- 2} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C - (- x^{- 1} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} x^{4} - - x^{- 1} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + 1 x^{- 1} + C$

Etapa 10.2.2

Multiplique $x^{- 1}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x^{6} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + x^{- 1} + C$