Cálculo Exemplos

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Etapa 1

Escreva $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ como uma função.

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ e $d v = 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int x \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5

Combine $x$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 6

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 6.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 2} d u$

Etapa 7.2

Mova $2$ para a esquerda de $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Etapa 9

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 9.1

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 9.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 9.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 11

Reescreva $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - u^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ .

$F (x) =$ $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) x - {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$