Cálculo Exemplos

$x - \sin (2 x)$

Etapa 1

Escreva $x - \sin (2 x)$ como uma função.

$f (x) = x - \sin (2 x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x - \sin (2 x) d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x d x + \int - \sin (2 x) d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - \sin (2 x) d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (2 x) d x$

Etapa 7

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 8

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Etapa 10

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

$\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

Etapa 11.2

Simplifique.

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Etapa 11.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u) + C$

Etapa 11.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (u) + C$

Etapa 11.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (u)}{2} + C$

Etapa 12

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

Etapa 14

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x - \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$