Cálculo Exemplos

$\ln (x^{2} \sqrt{1 + x^{2}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x^{2}}$ como ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x^{2}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 6

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 8

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 8.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 9.3

Mova ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (x^{2} (\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 9.4

Combine $\frac{1}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 12

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 14

Combine frações.

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Etapa 14.1

Combine $2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 14.2

Combine $\frac{2 x^{2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2} x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x^{2})}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{1 + 2}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 17

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 17.1

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{3}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{3}}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 17.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Etapa 19

Reordene.

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Etapa 19.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

Etapa 19.2

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 20

Para escrever $2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 22.1

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique $2 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24

Multiplique $\frac{1}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 25

Reordene os termos.

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 26

Multiplique ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 26.1

Mova ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 26.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Etapa 26.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Etapa 26.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 26.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Etapa 27

Simplifique $x^{2} {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x^{3} + 2 x (x^{2} + 1)}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

Etapa 28

Simplifique.

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Etapa 28.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

Etapa 28.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 28.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.3.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.3.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.3.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.3.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.3.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 2 x \cdot 1}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.3.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{3} + 2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.3.2

Some $x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.4

Combine os termos.

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Etapa 28.4.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 28.4.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.4.1.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{4} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.4.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 2 x}{x^{4} + x^{2}}$

Etapa 28.5

Fatore $x$ de $3 x^{3} + 2 x$ .

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Etapa 28.5.1

Fatore $x$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{x (3 x^{2}) + 2 x}{x^{4} + x^{2}}$

Etapa 28.5.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 2}{x^{4} + x^{2}}$

Etapa 28.5.3

Fatore $x$ de $x (3 x^{2}) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{4} + x^{2}}$

Etapa 28.6

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 28.6.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{2} x^{2} + x^{2}}$

Etapa 28.6.2

Multiplique por $1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1}$

Etapa 28.6.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x^{2} (x^{2} + 1)}$

Etapa 28.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 28.7.1

Fatore $x$ de $x^{2} (x^{2} + 1)$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x (x (x^{2} + 1))}$

Etapa 28.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (3 x^{2} + 2)}{x (x (x^{2} + 1))}$

Etapa 28.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{2} + 2}{x (x^{2} + 1)}$